第二章：随机变量及其分布

随机变量的概念

• 定义：设E 为随机试验， $\Omega$ 为其样本空间，$X(\cdot)$将 $\forall \omega \in \Omega$ 映射到 R 上，则称$X(\omega)$为$(\Omega, \mathscr F)$上的随机变量

• 随机变量的分类：

    graph LR
      A[随机变量] --> 离散型随机变量
    	A --> 非离散型随机变量 -- 其中一种重要的为 --- 连续型随机变量
  

• 随机变量的分布函数：$F(x) = P (X \le x)$

  • 性质

    

离散型随机变量及其分布

• 0 - 1 分布

• 二项分布(Binomial distribution)
  • 最可能取值（众数）
    • 当 $(n+1) p= \text{整数}$ 时, 在 $k=[(n+1) p]$ 与 $[(n+1) p]-1$ 处的概率取得最大值
    • 当 $(n+1) p \neq\text{整数}$ 时, 在 ${k}=[(n+1) p]$ 处的概率取得最大值

  • Poisson定理：

    设 $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n p_{n}=\lambda>0$ 则对固定的 $k$

    \[\begin{aligned}\lim \limits_{n \rightarrow \infty} C_{n}^{k} p_{n}^{k}\left(1-p_{n}\right)^{n-k} & =e^{-\lambda} \frac{\lambda^{k}}{k !} \\k & =0,1,2, \cdots\end{aligned}\]

    在实际计算中，当 $n \geq 20, p \leq 0.05$ 时，可用上述公式近似计算；而当 $n \geq 100, n p \leq 10$ 时，精度更好

• Poisson分布